[綜合]無題 無名 ID:UmRPUWCY 2022/07/04(一) 04:16:17.393 No.28113023
評分：0, 年：0, 月：0, 週：0, 日：0, [+1 / -1] 最後更新：2022-07-04 08:09:48
https://youtu.be/VYQVlVoWoPY
給島民看看這個影片
之前碰到附圖這個證明讓我想很久想不出來
一般會覺得要用sqrt(dx^2+dy^2)，而不是dx+dy去逼近
因為dx+dy永遠只能逼近到樓梯狀
聽起來滿合理，但永遠是樓梯狀這點
曲線下面積的矩形法逼近也是一樣狀況
所以我就不懂為何面積反而行得通
而這個影片則是說，其實這個逼近法真的是逼近成圓形
只是證明錯誤的點，是錯在取極限的地方
因為先找到長度再取極限，跟先取極限再找長度是不等價的(15分35秒處)
給島民看看這個影片
之前碰到附圖這個證明讓我想很久想不出來
一般會覺得要用sqrt(dx^2+dy^2)，而不是dx+dy去逼近
因為dx+dy永遠只能逼近到樓梯狀
聽起來滿合理，但永遠是樓梯狀這點
曲線下面積的矩形法逼近也是一樣狀況
所以我就不懂為何面積反而行得通
而這個影片則是說，其實這個逼近法真的是逼近成圓形
只是證明錯誤的點，是錯在取極限的地方
因為先找到長度再取極限，跟先取極限再找長度是不等價的(15分35秒處)
無題 無名 ID:99HMd2Uo 2022/07/04(一) 04:25:14.064 No.28113049
光看圖就知道錯的
因為就算再小的階梯形狀 還是有長度
因為就算再小的階梯形狀 還是有長度
無題 無名 ID:99HMd2Uo 2022/07/04(一) 04:26:16.560 No.28113050
然後這些階梯形狀的長度 也會隨著他越往無限小 變的越來越多 同樣也是往無限大去
無題 無名 ID:XTB61X0Y 2022/07/04(一) 04:32:23.751 No.28113067
不要說到圓
你畫一條直線，在旁邊做一個鋸齒線
你把鋸齒線拿去趨近無限，他會變成真正的直線嗎？
你畫一條直線，在旁邊做一個鋸齒線
你把鋸齒線拿去趨近無限，他會變成真正的直線嗎？
無題 無名 ID:UmRPUWCY 2022/07/04(一) 04:50:29.992 No.28113115
>>28113070
所以這張圖的話，答案是會
證明可以像影片一樣把圖形給參數化
然後找出某個點與直線的垂直距離
發現當鋸齒越小的時候，垂直距離會逼近0
事實上如果不會的話
那就無法解釋為何傅立葉級數可以用來逼近方波
所以這張圖的話，答案是會
證明可以像影片一樣把圖形給參數化
然後找出某個點與直線的垂直距離
發現當鋸齒越小的時候，垂直距離會逼近0
事實上如果不會的話
那就無法解釋為何傅立葉級數可以用來逼近方波
我看了影片了
我修正一下
問題在「lim」的定義
lim回傳的是：你這數列會往什麼數字靠近
但你的數列通常永遠不會等於lim回傳的數字
你把樓梯圓拿去取lim，回傳的是真圓
但是你的樓梯圓不管逼近幾次，永遠都是樓梯圓而不是真圓
「n超級大的樓梯圓」跟「lim n→∞ 樓梯圓」是不一樣的東西
後者是真圓，前者仍然是樓梯圓
大部分的數值，「n超級大的樓梯圓」跟「lim n→∞ 樓梯圓」算出來會幾乎一樣
偏偏在這個例子裡周長不能這樣算
周長的誤差量不會隨n而縮小
>>因為先找到長度再取極限，跟先取極限再找長度是不等價的(15分35秒處)
這句是對的
>>其實這個逼近法真的是逼近成圓形
這句寫得不太精確
應該說：樓梯圓的lim真的是真圓
但樓梯圓的n再大也不會成為真圓、也不會具有真圓的性質 (Pi)
但我說的
>>樓梯圓的面積跟真圓的面積之間的誤差是一個會隨n而縮小的東西
>>樓梯圓的周長跟真圓的周長之間的誤差是一個固定比例，這個比例不隨n而縮小
這兩句也是對的
我修正一下
問題在「lim」的定義
lim回傳的是：你這數列會往什麼數字靠近
但你的數列通常永遠不會等於lim回傳的數字
你把樓梯圓拿去取lim，回傳的是真圓
但是你的樓梯圓不管逼近幾次，永遠都是樓梯圓而不是真圓
「n超級大的樓梯圓」跟「lim n→∞ 樓梯圓」是不一樣的東西
後者是真圓，前者仍然是樓梯圓
大部分的數值，「n超級大的樓梯圓」跟「lim n→∞ 樓梯圓」算出來會幾乎一樣
偏偏在這個例子裡周長不能這樣算
周長的誤差量不會隨n而縮小
>>因為先找到長度再取極限，跟先取極限再找長度是不等價的(15分35秒處)
這句是對的
>>其實這個逼近法真的是逼近成圓形
這句寫得不太精確
應該說：樓梯圓的lim真的是真圓
但樓梯圓的n再大也不會成為真圓、也不會具有真圓的性質 (Pi)
但我說的
>>樓梯圓的面積跟真圓的面積之間的誤差是一個會隨n而縮小的東西
>>樓梯圓的周長跟真圓的周長之間的誤差是一個固定比例，這個比例不隨n而縮小
這兩句也是對的
無題 無名 ID:99HMd2Uo 2022/07/04(一) 04:54:40.685 No.28113125
就說了阿
越"接近圓形"
樓梯型數量越多 每個樓梯型長度越小
一個接近無限大 一個接近無限小
越"接近圓形"
樓梯型數量越多 每個樓梯型長度越小
一個接近無限大 一個接近無限小
>>28113117
>樓梯圓的lim真的是真圓
>但樓梯圓的n再大也不會成為真圓、也不會具有真圓的性質 (Pi)
這段就有點讓我回想到漸進線的定義
我們都知道y=1/x這條曲線永遠不會碰到0
可是偏偏lim(1/x),x->inf就真的是0
所以逼近跟極限可以是非常違反直覺的
>樓梯圓的lim真的是真圓
>但樓梯圓的n再大也不會成為真圓、也不會具有真圓的性質 (Pi)
這段就有點讓我回想到漸進線的定義
我們都知道y=1/x這條曲線永遠不會碰到0
可是偏偏lim(1/x),x->inf就真的是0
所以逼近跟極限可以是非常違反直覺的
>>28113131
問題都在lim身上
他的定義太反直覺了
(問題是不這麼定義又算不出東西)
lim的回傳值常常不在數列裡
而且常常違反數列本身的規則、具有與數列裡的元素不同的性質
所以你拿lim的回傳值當作數列元素套入某些公式裡就會壞掉
結論是
使用lim之前你要搞得很清楚他到底是什麼東西
問題都在lim身上
他的定義太反直覺了
(問題是不這麼定義又算不出東西)
lim的回傳值常常不在數列裡
而且常常違反數列本身的規則、具有與數列裡的元素不同的性質
所以你拿lim的回傳值當作數列元素套入某些公式裡就會壞掉
結論是
使用lim之前你要搞得很清楚他到底是什麼東西
無題 無名 ID:35CwwUGA 2022/07/04(一) 05:22:46.755 No.28113200
>>28113139
好像大學的升學考試就會出現這種題型
極限的操作其實很麻煩
並不是所有的極限都這麼"線性"
也就是說lim(f*g)跟lim(f)*lim(g)其實是兩回事
例如瑕積分裡面的加總，只有符合某些情況可以讓積分和加總互換
但大多時候都是直接換，而沒注意到其實可能不行
好像大學的升學考試就會出現這種題型
極限的操作其實很麻煩
並不是所有的極限都這麼"線性"
也就是說lim(f*g)跟lim(f)*lim(g)其實是兩回事
例如瑕積分裡面的加總，只有符合某些情況可以讓積分和加總互換
但大多時候都是直接換，而沒注意到其實可能不行
無題 無名 ID:35CwwUGA 2022/07/04(一) 06:18:05.310 No.28113352
樓梯圓不管怎樣都是樓梯圓
你可以想像雖然你看到的是一條線而已
但是放大鏡無限放大看他還是樓梯
你可以想像雖然你看到的是一條線而已
但是放大鏡無限放大看他還是樓梯
無題 無名 ID:DyMP7Kd2 2022/07/04(一) 06:40:24.202 No.28113398
可是 不是先求圓嗎.
>>28113392
不是的，你這段話就好像在講0.999...如何跟1不相等一樣
不是的，你這段話就好像在講0.999...如何跟1不相等一樣
求線的長度卻用不會減少誤差的方法逼近當然會出錯
無題 無名 ID:x5uOxMlk 2022/07/04(一) 06:51:11.794 No.28113426
無題 無名 ID:m13vsL9A 2022/07/04(一) 06:51:27.827 No.28113427
無題 無名 ID:x5uOxMlk 2022/07/04(一) 06:54:58.534 No.28113437