[綜合]無題

>>28113023
雖然不太喜歡證明類的
但是有料還是幫你推個

>>28113023
今天不想看這個
可是因爲是很好的頻道
給你回一張圖

舉例來說，0*無限是不定式
但0+0+0+...永遠不能加出其他數字出來
乍看之下很矛盾
但想想會發現0+0+0+...
是0*n之後對n取極限：lim(0*n), n->inf
但0*無限則是類似先取極限再乘以0：0*lim(n), n->inf
兩個式子是不等價的
前者是真真正正等於0，後者則是不定式

光看圖就知道錯的
因為就算再小的階梯形狀 還是有長度

然後這些階梯形狀的長度 也會隨著他越往無限小 變的越來越多 同樣也是往無限大去

>>而這個影片則是說，其實這個逼近法真的是逼近成圓形
>>因為先找到長度再取極限，跟先取極限再找長度是不等價的(15分35秒處)
我沒有把影片看完
但我認為不是這樣

樓梯圓的面積跟真圓的面積之間的誤差是一個會隨n而縮小的東西
樓梯圓的周長跟真圓的周長之間的誤差是一個固定比例，這個比例不隨n而縮小
所以把n趨近於無限大不會讓兩種周長趨近相等

樓梯圓再怎麼取極限仍然是樓梯圓，不會變成真圓

>>28113023
碎型幾何
邊長可以趨近無限大

不要說到圓
你畫一條直線，在旁邊做一個鋸齒線
你把鋸齒線拿去趨近無限，他會變成真正的直線嗎？

>>28113060
>樓梯圓的周長跟真圓的周長之間的誤差是一個固定比例，這個比例不隨n而縮小
你這句是對的
但影片想講的事情，是指你這段的情況是前者
先找到長度再取極限
所以永遠會是錯誤的周長4

而樓梯圓取極限會變成圓，指的是後者
證明則是在3:24這段
把樓梯圓用參數t來表示，取任意t0找到某個點P
然後看第n級的樓梯圓與正圓的距離(誤差)
會知道這個誤差會隨著n而縮小

>>28113070
所以這張圖的話，答案是會
證明可以像影片一樣把圖形給參數化
然後找出某個點與直線的垂直距離
發現當鋸齒越小的時候，垂直距離會逼近0

事實上如果不會的話
那就無法解釋為何傅立葉級數可以用來逼近方波

我看了影片了
我修正一下

問題在「lim」的定義
lim回傳的是：你這數列會往什麼數字靠近
但你的數列通常永遠不會等於lim回傳的數字

你把樓梯圓拿去取lim，回傳的是真圓
但是你的樓梯圓不管逼近幾次，永遠都是樓梯圓而不是真圓
「n超級大的樓梯圓」跟「lim n→∞ 樓梯圓」是不一樣的東西
後者是真圓，前者仍然是樓梯圓

大部分的數值，「n超級大的樓梯圓」跟「lim n→∞ 樓梯圓」算出來會幾乎一樣
偏偏在這個例子裡周長不能這樣算
周長的誤差量不會隨n而縮小


>>因為先找到長度再取極限，跟先取極限再找長度是不等價的(15分35秒處)
這句是對的

>>其實這個逼近法真的是逼近成圓形
這句寫得不太精確
應該說：樓梯圓的lim真的是真圓
但樓梯圓的n再大也不會成為真圓、也不會具有真圓的性質 (Pi)

但我說的
>>樓梯圓的面積跟真圓的面積之間的誤差是一個會隨n而縮小的東西
>>樓梯圓的周長跟真圓的周長之間的誤差是一個固定比例，這個比例不隨n而縮小
這兩句也是對的

就說了阿
越"接近圓形"
樓梯型數量越多 每個樓梯型長度越小
一個接近無限大 一個接近無限小

>>28113117
>樓梯圓的lim真的是真圓
>但樓梯圓的n再大也不會成為真圓、也不會具有真圓的性質 (Pi)
這段就有點讓我回想到漸進線的定義
我們都知道y=1/x這條曲線永遠不會碰到0
可是偏偏lim(1/x),x->inf就真的是0
所以逼近跟極限可以是非常違反直覺的

>>28113131
問題都在lim身上
他的定義太反直覺了
(問題是不這麼定義又算不出東西)

lim的回傳值常常不在數列裡
而且常常違反數列本身的規則、具有與數列裡的元素不同的性質
所以你拿lim的回傳值當作數列元素套入某些公式裡就會壞掉

結論是
使用lim之前你要搞得很清楚他到底是什麼東西

>>28113139
好像大學的升學考試就會出現這種題型
極限的操作其實很麻煩
並不是所有的極限都這麼"線性"
也就是說lim(f*g)跟lim(f)*lim(g)其實是兩回事

例如瑕積分裡面的加總，只有符合某些情況可以讓積分和加總互換
但大多時候都是直接換，而沒注意到其實可能不行

>>28113023
下面兩個命題
a）方格線上的每一個點會無窮逼近圓周
b）方格線的總長度 會無窮逼近 圓周的長度

你那個偽證 所證明的只有命題a為真
並沒有論證過“a則必然b”

>>28113280
沒錯，其實我想講的是
以前看到這個問題
我以為樓梯圓的極限仍然是樓梯圓
才會讓周長不相等

但後來我知道其實樓梯圓的極限就是個圓
所以傅立葉級數才能拿來逼近方波
這個錯誤證明，如你說的，真正的問題是出在b而不在a
用數學語言來說就是
雖然lim(|f_n|)=g，但是lim(|f'_n|)不一定等於g

>>28113349
少打一個'
雖然lim(|f_n|)=g，但是lim(|f'_n|)不一定等於g'

樓梯圓不管怎樣都是樓梯圓
你可以想像雖然你看到的是一條線而已
但是放大鏡無限放大看他還是樓梯

可是 不是先求圓嗎.

>>28113392
不是的，你這段話就好像在講0.999...如何跟1不相等一樣

求線的長度卻用不會減少誤差的方法逼近當然會出錯

>>28113409
不是

雖然這些多出來的三角形越來小了
但是隨著每個三角形越來越小 三角形的數量也越來越多
只是整個形狀越來越接近圓 周長卻沒有 還是一樣長
這不用寫算式都知道

>>28113415
還好割圓術剛好可以減少誤差
並且誤差取極限是0
如果幾百幾千年前極限還沒發展好
大概有人問這問題數學家也會像碰到芝諾悖論一樣頭痛

>>28113409
0.999...是n已經等於無限才能存在的東西
本來就是不同的

>>28113419
你講的是周長，樓梯圓的周長確實跟圓周長不相等
但是樓梯圓的極限是圓
所以傅立葉級數的極限可以是方波
但曲線長度或許?我沒證明過但應該是跟方波不一樣長